Không, Hư vô, Chân không,
trong khoa học tự nhiên

Hà Dương Tuấn

Để kính mừng Giáo Sư Hoàng Tuỵ thượng thọ 80.

Đã đăng trong Kỷ Yếu tặng Giáo Sư Hoàng Tuỵ :
Sĩ Phu thời nay, nxb Tri Thức, Hà Nội tháng 12-2007.

Đi xa ngàn dặm bắt đầu từ một bước chân

Đạo đức kinh

Tiểu luận này trình bày những cách hiểu khác nhau trong lịch sử của khoa học tự nhiên ¹ về cái không và cái chân không – bằng cách sử dụng khái niệm mô hình. Khái niệm then chốt của khoa học luận này ít khi được nhấn mạnh đầy đủ, có lẽ do hai lý do trái ngược nhau: hoặc như các nhà khoa học, coi đó là hiển nhiên vì phải vận dụng hàng ngày; hoặc không hề để ý đến nó do truyền thống văn hoá, không phân biệt hai thế giới khác nhau của ý thức và vật chất. Sơ bộ, thao tác mô hình hoá là việc dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả và khảo sát sự vật. Xin trở lại với nó rõ hơn sau.

Có thể hiểu một lý thuyết khoa học như sự mô hình hoá các hiện tượng cơ bản của thế giới vật chất bằng cách phát biểu các quy luật của nó. Những quy luật này trở thành những tiên đề, và để áp dụng những tiên đề trong một hoàn cảnh đặc thù cần diễn dịch nó chung với những tham số của hoàn cảnh đó để rút ra những kết luận hữu ích. Thí dụ như người ta có thể từ định luật hấp dẫn vũ trụ của Newton và những đặc điểm của thái dương hệ để suy ra việc làm vệ tinh nhân tạo. Ngôn ngữ khoa học vì thế thường được gọi là một hệ thống tiên đề - diễn dịch.

Ngôn ngữ có tính hệ thống, các khái niệm tự xác định ý nghĩa lẫn nhau trong một quan hệ tổng thể. Nhưng ngôn ngữ nói chung không chỉ có tính hệ thống; một mặt ý nghĩa của các khái niệm thay đổi với thời gian, và mặt khác các từ ngữ trừu tượng dùng cho những khái niệm mới thường thoát thai từ những từ ngữ và khái niệm có sẵn; do đó mỗi khái niệm thường phải được đặt trong một "vùng ngữ nghĩa" nào đó mà những người đối thoại cần hiểu ngầm với nhau, và không chắc như nhau...

Với tính chất tiên đề - diễn dịch hoàn toàn chặt chẽ và chính xác, người ta có thể nghĩ rằng ngôn ngữ khoa học có tính hệ thống tuyệt đối, không có quá khứ, một ngôn ngữ lý tưởng để mọi người đều hiểu như nhau. Tuy nhiên, trong nghĩa rộng, ngôn ngữ mà các nhà khoa học dùng để suy tư, sáng tạo, và thảo luận với nhau, thì không hẳn thế. Những khái niệm căn bản nhất, trên đó khoa học chính xác đã xây dựng được những hệ thống tiên đề - diễn dịch rất bao quát và thống nhất như hiện nay, chẳng hạn như : cái có và cái không, khẳng định và phủ định... vẫn thoát thai từ trực giác. Có từ lâu đời trên mọi nơi của địa cầu, những trực giác ấy đã được phát triển thành khái niệm theo những hướng khác nhau.

Do đó ngôn ngữ khoa học không chỉ là một mớ những khái niệm ròng lý thuyết, mà ở nơi sâu thẳm nhất nó còn vương vấn những sắc thái văn hoá đặc thù. Trong một giai đoạn ổn định, các sắc thái ngôn ngữ ấy đã được vượt qua và không còn ảnh hưởng gì trong khoa học. Nhưng đến khi có khủng hoảng, thí dụ với những nghịch lý của cơ học lượng tử, thì đào sâu nhận thức về thế giới tự nhiên còn là đào sâu vào nền tảng của tư tưởng ², và khi đó những sắc thái văn hoá đặc thù của ngôn từ có thể xuất hiện trở lại : người ta đã nhận thấy điều ấy trong những luận thuyết về một sự tương hợp nào đó của tư tưởng Á Đông ³ và khoa học hiện đại... Điều cần trân trọng ở đây là ý thức về sự dung hợp văn hoá đó, tối cần thiết và khẩn cấp trong thời đại toàn cầu hoá kinh tế hiện nay. Nhưng chính vì thế có lẽ nên nhận định rõ đâu là ước mong và đâu là thực tế.

Có chắc gì những từ tương đương giữa các ngôn ngữ – như hư vô / néant, chân không / vide... – đã được cảm nhận hoàn toàn như nhau giữa một người thấm nhuần văn hoá Á Đông và một nhà khoa học Tây phương ? trong cuộc đối thoại giữa một thiền sư và một nhà vật lý lý thuyết ? Ở đây sự đồng cảm đích thực sẽ rất quý giá, nhưng chắc không dễ dàng. Tác nhân của những hiểu lầm và ảo tưởng có thể xẩy ra, ngoài cái bất đối xứng về sức mạnh vật chất giữa Á Đông và Tây phương – nguồn gốc của những mặc cảm có khả năng bóp méo nhận định và suy luận – , còn là sức nặng lịch sử của ngôn từ. Cho nên tưởng cũng không thừa nếu chúng ta bắt đầu con đường đi đến đồng cảm và dung hợp ấy bằng cách tìm hiểu ý nghĩa trong khoa học hiện đại của những ngôn từ / khái niệm cơ bản, dựa trên những trực giác sâu thẳm, như cái có và cái không...

Tiểu luận này gồm ba phần chính, phần đầu tóm lược một đặc tính của khoa học có liên quan tới chủ đề, đó là sự chấp nhận hiện thực khách quan, và coi hoạt động khoa học là sự mô hình hoá hiện thực khách quan đó; phần hai dựa trên đặc tính này để phát triển rõ hơn các khái niệm "không" và "hư vô" trong luận lý học và toán học, và phần ba trình bày những quan niệm về "chân không" như một đặc tính của không gian chúng ta đang sống, với những biến chuyển trong lịch sử khoa học.

1. Thực tại và mô hình

1.1. Có chăng Hiện thực khách quan ?

Để mọi người có thể đồng ý với nhau trên câu hỏi "hiện thực là cái gì ?" "có chăng một hiện thực khách quan ?" thật không dễ. Trong khung cảnh khoa học tự nhiên của tiểu luận này, xin chỉ có vài phân biệt ngắn gọn, rồi hy vọng các thuật ngữ sẽ phần nào tự xác định rõ thêm trong các ngữ cảnh. Theo thiển ý có ba cách hiểu chữ "hiện thực" :

Một là tất cả những hiện tượng vật chất của đời thường, mà mọi người có lý trí và giác quan bình thường đều nắm bắt được. Xin gọi chung là "hiện thực vật chất nghiệm sinh" ("hiện thực", nếu ngữ cảnh cho phép) theo nghĩa đó là tất cả những hiện tượng cụ thể trong nghiệm sinh của con người, cảm nhận được bằng giác quan, trực tiếp hay gián tiếp qua đo lường.

Hai là một cái gì bao trùm tất cả, vừa sâu sắc hơn, vừa thống nhất hơn, vừa đơn giản hơn "hiện thực vật chất nghiệm sinh" nói trên, nó "nằm ở đằng sau", và làm nảy sinh mọi hiện tượng. Xin gọi nó là "bản thể của hiện thực", nói gọn là "bản thể" trong ngữ cảnh của tiểu luận này. Đây không phải là "bản thể" theo nghĩa triết học, mà ở đây không đề cập đến. "Bản thể của hiện thực", vì không thể được trực tiếp nghiệm sinh, chỉ thuần tuý là một khái niệm sơ khởi, mà việc có thể được hiểu toàn bộ và thấu đáo hay không, là tuỳ thuộc niềm tin của từng người.

Cách hiểu thứ ba gộp hai cách hiểu trên làm một, cho rằng mọi hiện tượng vật chất đều đã được khoa học giải thích thoả đáng và đầy đủ bằng một số quy luật cơ bản và thống nhất. Hiện tượng chỉ là sự biểu hiện của bản thể, người ta giải thích được tại sao và như thế nào các hiện tượng nảy sinh, cũng như biết đi ngược từ hiện tượng đến bản thể, tuy không thể chính xác 100% do giới hạn của các công cụ đo lường. Đây là cách hiểu của một thời khi người ta nghĩ rằng khoa học đã giải thích được tất cả, chỉ còn một vài vấn đề nhỏ... xin gọi cách hiểu như thế là sự khẳng định "hiện thực tuyệt đối".

Khoa học chỉ nói về các hiện tượng, cho nên thế giới vật chất mà các nhà khoa học mô tả nếu hiểu một cách nghiêm ngặt thì chỉ là hiện thực hiểu theo nghĩa thứ nhất nói trên. Nhưng trong tinh thần khoa học có một niềm tin tiên thiên (a priori) sâu hơn thế: thế giới hiện tượng này là biểu hiện của một bản thể tồn tại và biến chuyển theo những quy luật độc lập với ý thức con người, biết được xuyên qua việc khảo sát hiện thực nghiệm sinh. Cho đến nay chưa có luận cứ có tính thuyết phục nào đi ngược lại niềm tin này ⁴. Xin gọi đó là niềm tin về hiện thực khách quan. Niềm tin này không hẳn là niềm tin vào một hiện thực tuyệt đối.

Đại đa số các nhà khoa học, trong hoạt động khoa học của mình, luôn luôn hành xử với niềm tin về hiện thực khách quan, vì chính hoạt động khoa học là sự tìm hiểu những mối liên hệ nhân quả giữa các hiện tượng. Có thể coi những quy luật nhân quả đó như sự biểu hiện của "một cái gì đó" mà ta đã gọi là "bản thể", vì nếu giữa hai hiện tượng chỉ là hư vô, thì không thể có một quy luật nhân quả nào nối liền chúng với nhau. Thí dụ khi người ta bắn một hạt điện tử (electron) lên một màn huỳnh quang, chỉ biết lúc bắn ra và lúc nó chạm vào màn huỳnh quang thì nó có những tính chất vật lý đã đo được, ở hai thời điểm đó có hai hiện tượng mà ta gọi là điện tử; giữa hai thời điểm đó ta vẫn gọi "nó" là điện tử, nhưng thực ra không biết "nó" là cái gì. Tuy nhiên "nó" hiện hữu và biến chuyển theo một quy luật khách quan mà người ta đã dùng để làm nên màn ảnh huỳnh quang hiện ra phong cảnh đẹp đẽ. Khái niệm bản thể hiểu như thế không thể được coi là trống rỗng.

Mặt khác, những mô hình toán học hiện đại dùng để biểu diễn các quy luật và tiên đoán các hiện tượng trở nên rất khác biệt với chúng, phức tạp, kỳ lạ và đi ngược lại trực giác. Do đó có những nhà khoa học lớn phủ nhận bất cứ cái gì "đằng sau" hiện thực nghiệm sinh. Theo thiển ý, có lẽ những phát biểu đó phản ảnh sự bất lực của lý trí trước những nghịch lý của vật lý hiện đại, từ đó đi quá đà đến sự phủ nhận bản thể. Theo những phân tích ở trên, đây thực chất là phủ nhận hiện thực tuyệt đối.

Có một số quan điểm thoạt đầu nghe rất khác niềm tin về hiện thực khách quan, nhưng thực ra không khác. Thí dụ như : cái thế giới vật chất duy nhất này chỉ là một ảo tưởng chung, liên chủ quan (intersubjectif – tuy thuộc chủ quan của mỗi người, nhưng lại đồng nhất với nhau), của mọi sinh vật có ý thức. Sở dĩ thế giới đó mang những trạng thái và những quy luật xác định được cũng như tiên đoán được, là vì tất cả các sinh vật có ý thức có cùng chung những ảo tưởng, do đã trải qua cùng những quan hệ nhân quả (có thể gọi cái Ý Thức lớn, viết hoa, mẫu số chung của mọi ý thức cá nhân đó là "cộng nghiệp"). Nhưng như thế không có gì cho phép phân biệt hiện thực và ảo tưởng. Nếu ảo tưởng (kể cả sống, chết, mất, còn) là của tất cả, thì ảo tưởng cũng là hiện thực sắt đá của tất cả:

Có thì muôn sự có,
Không thì tất cả không ⁵.

Cho nên nếu hiểu niềm tin "cộng nghiệp" như thế thì nó hoàn toàn có thể được đồng hoá với niềm tin thứ ba này : Thượng Đế đã sáng tạo tất cả vũ trụ cách đây bốn nghìn năm trước (mà nói chỉ một sát na trước thì cũng không khác), rồi sau đó Thượng Đế không can thiệp vào thế giới vật chất nữa; sáng tạo ấy bao gồm tất cả những quy luật vật lý cũng như tất cả các chi tiết hợp quy luật cho phép người ta nghĩ rằng vũ trụ đã có từ 13 tỷ năm trước, và loài khủng long đã để lại những bộ xương từ hơn một trăm triệu năm. Sự khác biệt chỉ nằm ở nguồn gốc của hiện thực khách quan, một vấn đề siêu hình.

Thế giới của ý thức bao gồm những cảm giác và những khái niệm diễn ra trong tâm tư và trí tuệ con người, có thể được biểu thị qua hành động hay trao đổi với nhau qua ngôn ngữ. Thế giới ý thức vừa có ảnh hưởng hỗ tương, vừa độc lập tương đối với thế giới vật chất. Ý thức dĩ nhiên có thể làm thay đổi thế giới vật chất, nhưng để làm được điều đó cho đến nay nó phải vận dụng những quy luật độc lập với nó của thế giới vật chất. Niềm tin về hiện thực khách quan được hình thành do con người đã tích tụ những kinh nghiệm ngày càng phủ định về tác động của ý thức lên thế giới vật chất một cách trực tiếp, không thông qua môi giới vật chất.

Một trong những bí ẩn đầu tiên, có thể nói là huyền bí, của cơ học lượng tử (CHLT) là hiện tượng lưỡng tính hạt và sóng, điều đó khiến cho những nhà khai phá hàng đầu như Bohr và Heisenberg đã có những tuyên bố dễ làm người ta hiểu lầm về vai trò của ý thức, nhưng thực ra trong ngữ cảnh của những tuyên bố này luôn luôn có sự hiện diện của môi giới vật chất, đó là các thí nghiệm cụ thể với các thiết bị đo lường cụ thể, một cấu hình thí nghiệm nào đó sẽ cho thấy tính chất hạt của lượng tử (hay nguyên tử), và một cấu hình khác sẽ cho thấy tính chất sóng của nó ⁶. Nhưng tại sao lại có hai hiện tượng – của tự nhiên, độc lập với ý thức người quan sát – bất nhất như thế ? Làm sao có được cái nhìn về thế giới vật chất dung hợp được những hiện tượng mà thuyết tương đối (TTĐ) và CHLT đã thiết lập ? Theo thiển ý, hiện nay chưa ai trả lời được rốt ráo những câu hỏi loại này. Chính vì thế chúng ta càng nên thận trọng phân biệt rõ bản thể – hiểu trong tính tổng thể và tính thống nhất của nó, và vẫn còn nằm ở chân trời phía xa – với những mô hình mô tả được những khía cạnh khác nhau của hiện thực, rất hiệu quả và là nguồn gốc của cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật vũ bão hiện nay, tuy chưa có một mô hình hoàn chỉnh và tổng thể để cho phép hiểu hiện thực (một cách) tuyệt đối.

1.2. Mô hình và giới hạn của mô hình

Trong nghĩa thông thường, "mô hình hoá" một hiện tượng nào để khảo sát nó, là dùng một ngôn ngữ chính xác để mô tả hiện tượng ấy trong những khía cạnh liên hệ và bỏ đi những mặt không liên hệ đến mục đích khảo sát, đây chính là "trừu tượng hoá" hiểu theo nghĩa đen, vì "trừu tượng" nguyên nghĩa là giữ lại cái đặc trưng, đã được dùng để dịch "abstraction" mà nguyên nghĩa là bỏ đi cái không cần thiết. Nhưng mô hình hoá không phải chỉ là giữ và bỏ mà còn là thêm vào. Chính vì qua việc khu biệt hoá và thuần khiết hoá những lớp bài toán đặc thù, nó là một công cụ cho phép hiểu rõ hiện thực hơn, từ đó khám phá những những quy luật còn bị ẩn dấu của tự nhiên, giải thích những hiện tượng chưa giải thích được, khám phá những hiện tượng mới. Mặt khác, bản thể của hiện thực, nếu hiểu được, phải thống nhất và bao trùm, nhưng mô hình cho một khía cạnh nào đó của hiện thực thì không cần như thế, tuy sự tìm hiểu hiện thực ngày càng được mở rộng, để hy vọng đi đến một mô hình tổng thể.

Khái niệm "mô hình", rất quen thuộc trong văn hoá Tây phương, hình như hoàn toàn vắng bóng trong văn hoá Á Đông. Có thể coi khái niệm mô hình bắt nguồn từ "thế giới ý tưởng" của Platon ⁷. Nếu không quen với khái niệm triết học này người ta rất dễ đánh đồng thực tại với mô hình của thực tại, là những lý thuyết khoa học, vì thông thường người ta chỉ có thể nói với nhau về thực tại bằng ngôn ngữ khái niệm, tức ngôn ngữ của mô hình. Đến khi phải dùng những cách nắm bắt thực tại khác nhau cho những hoàn cảnh thực nghiệm khác nhau... người ta mới không khỏi vò đầu bứt trán : tại sao thực tại khi thì thế này, khi thì thế kia ? khi thì là hạt, khi thì là sóng ? Nếu đổi lại thành một câu hỏi chính xác hơn : tại sao mô hình của thực tại lại khi thế này khi thế kia... thì có lẽ dễ thở hơn, ít ra về mặt tâm lý.

Sau đây là một thí dụ phổ biến của sự đánh đồng thực tại với mô hình, rồi từ đó đi đến ngộ nhận: người ta nói đến "hiệu ứng cánh bướm" (một con bướm vỗ cánh ở Brasil liệu có thể gây nên bão tố ở Texas) như là thí dụ của việc một nguyên nhân nhỏ có thể gây nên hậu quả lớn. Vậy có gì lạ đâu ? đó là một hiện tượng ai cũng biết, tục ngữ có câu "rút dây động rừng". Ý nghĩa của câu nói này không phải thế, không có một quan hệ nhân quả nào giữa một con bướm cụ thể nào và cơn bão; mỗi lúc tại Brasil có hàng triệu con bướm vỗ cánh, vậy con bướm nào gây ra bão tố đây ? "Hiệu ứng cánh bướm" không nói đến điều ấy, mà nói đến khả năng có hạn của mô hình khoa học trên một số bài toán, đặc biệt bài toán dự báo khí tượng. Do vì, từ khác biệt ban đầu rất nhỏ (như cái vỗ cánh của một con bướm) mô hình sẽ cho ra những kết quả khác biệt rất lớn (như có bão hay không có bão) sau một thời gian nào đó, cho nên khi đó mô hình trở thành vô ích. Khi hiểu đúng văn cảnh ⁸ của ẩn dụ nổi tiếng này thì con bướm và bão tố đều chỉ là những hình tượng văn vẻ (và rất đáng tiếc dễ gây hiểu nhầm) cho các đại lượng trừu tượng trong mô hình, không phải những hiện tượng thật. Điều oái oăm ở đây là hình ảnh quá cụ thể này đã đẩy người ta vào cái sai lầm mà chính nó muốn nói đến.

Thực vậy, về mặt nhận thức luận ý nghĩa của "hiệu ứng cánh bướm" quan trọng hơn rất nhiều cách hiểu "rút dây động rừng". Đó là : không thể dự báo (cũng có nghĩa là không thể tác động đến như ý muốn) về tương lai lâu dài của một số hệ thống. Sự bất lực có tính lý thuyết này có hệ luận là : trên thực tế không thể đánh đồng thực tại với mô hình, và sẽ không bao giờ làm được như thế. Khoa học luận hiện đại cần chúng ta có ý thức thường trực và rõ rệt về sự phân biệt này. Chúng ta có thể tin tưởng hay không là một ngày nào đó sẽ có một lý thuyết bao quát và thống nhất về thực tại trên mọi khía cạnh ⁹ – khi đó sẽ có thể nói là con người đã hoàn toàn hiểu thế giới vật chất – , nhưng dù có như thế thì sự áp dụng lý thuyết đó trên một số khía cạnh thực tế để dự phóng về tương lai cũng sẽ chỉ cục bộ và giới hạn trong một khoảng thời gian nhất định. Trong một số bài toán hiện nay có thể nói : tiên đoán được không có nghĩa là hiểu, nhưng trong một số bài toán khác thì mãi mãi hiểu cũng không có nghĩa là tiên đoán được quá xa.

2. Chữ "không" trong luận lý học và toán học

Lôgích học là công cụ của toán học, nó cho phép bảo đảm tính chặt chẽ khi xây dựng một lý thuyết toán. Và, trong phạm vi của tiểu luận này, toán học là công cụ của vật lý học, nó cho phép xây dựng những mô hình của thực tại với những đại lượng cơ bản nhất như không gian, thời gian, năng lượng, vật chất... và những quy luật tương tác giữa những đại luợng ấy. Những mô hình thích hợp với thực nghiệm sẽ cho phép quan sát hay/và tác động lên thực tại, rồi tiên đoán chính xác kết quả... Do đó khoa học trở thành nguồn gốc của những tiến bộ kỹ thuật đã làm thay đổi đến chóng mặt cuộc sống con người.

Trong mối liên hệ đa tầng đó, chữ "không" vừa vẫn mang cái trực giác ban đầu : ngược lại với "có một cái gì" là "không có gì cả", vừa mang những sắc thái khác nhau vì mỗi tầng của cái cấu trúc trí tuệ đó có những đối tượng riêng. Trước hết, để khảo sát thế giới cần một ngôn ngữ ngắn gọn và chính xác, đó là ngôn ngữ toán học. Từ đầu thế kỷ thứ 17 sau tuyên ngôn nổi tiếng của Galileo Galilei (1564-1642) "cuốn sách của tự nhiên được viết bằng ngôn ngữ toán", các nhà bác học đã tìm ra nhiều quy luật của tự nhiên trong cơ học, quang học, hoá học, điện từ học... và những quy luật rất hiệu quả ấy là cơ sở cho sức mạnh vật chất của phương Tây. Công cụ toán học cần thiết cho việc khám phá những quy luật đó và phát triển chúng cho những tính toán ứng dụng, chính là toán vi tích phân, đồng thời được Newton và Leibniz sáng tạo độc lập với nhau. Nhưng khởi đầu toán vi tích phân được các nhà vật lý vận dụng một cách tương đối không chặt chẽ, công cuộc phát triển toán học kéo dài trong suốt các thế kỷ 17, 18 cho đến cuối thế kỷ 19 mới coi như làm chủ được hoàn toàn cái vô cùng tận hiện hữu (infinité réelle) ¹⁰, cần thiết cho toán vi tích phân để định nghĩa rõ rệt thế nào là sự liên tục của không gian. Để đặt nền móng lý luận chặt chẽ cho toán học, ngành học về lôgích có từ thời Aristotle đã phát triển mạnh trở lại, nó có tên mới là "toán luận lý" (logique mathématique) hay "luận lý học hình thức" (logique formelle), để cho gọn xin gọi là lôgích học. Kết quả là toán học đã được xây dựng trên nền tảng của thuyết tập hợp tiên đề hoá ¹¹ (théorie axiomatique des ensembles); nằm giữa hai tầng cấu trúc tri thức, nó vừa được coi là toán học vừa được coi là lôgích học. Cuộc xây dựng thuyết này khá trắc trở, phải vượt qua nhiều nghịch lý (paradoxes) mới được chặt chẽ như ngày nay.

Tính chặt chẽ này được bảo đảm bằng một phương pháp hai giai đoạn, dĩ nhiên "hai giai đoạn" ở đây không hàm ý trước sau theo thời gian mà chỉ là một thứ tự thuần lý.

Giai đoạn thứ nhất là xây dựng thuyết tập hợp tiên đề hoá bằng lôgích học, trong giai đoạn này một thuyết tập hợp hạn chế, hay thuyết tập hợp hồn nhiên (naif), được sử dụng. Điều mặc nhiên được công nhận là như sau : đối tượng của lôgích học chỉ là những chuỗi ký hiệu (của toán học hay của bản thân lôgích học), trong một tập hợp hữu hạn (hữu hạn cũng có nghĩa là rời rạc), mà trong khung cảnh hữu hạn thì trực giác con người là tuyệt đối giống nhau khi nhận biết, lý luận và tính toán (đi từ một chuỗi ký hiệu này đến một chuỗi ký hiệu khác) một cách hồn nhiên. Thêm nữa, tuy lôgích học hình thức không dùng đến khái niệm vô tận, nó không cần và không thể xác định con số hữu hạn của những ký hiệu là bao nhiêu. Trong bài này xin dùng thuật ngữ "thế giới diễn ngôn" để chỉ tập hợp tất cả các mệnh đề đúng cú pháp viết bằng các ký hiệu lôgích và toán học, trong một lý thuyết tiên đề - diễn dịch. Đây quả thực là một ngôn ngữ có tính hệ thống tuyệt đối, không quá khứ, như đã nói ở đầu bài.

Giai đoạn thứ hai: với những chuỗi ký hiệu, mà sự vận dụng theo lôgích chỉ cần cái trực giác hồn nhiên nói trên, không những người ta xây dựng được trong thuyết tập hợp tiên đề hoá những tập hợp có vô tận phần tử, mà còn xây dựng được nhiều loại vô tận khác nhau, cái vô tận "đếm được", và cái vô tận liên tục. Những tập hợp vô tận này là khởi đầu của việc "xây dựng" được những lý thuyết toán học đáp ứng được việc mô hình hoá không gian, thời gian... và những quy luật vật lý. Thực ra những lý thuyết này đã có từ trước, hoặc được sáng tạo theo nhu cầu áp dụng, hoặc như những sáng tạo trừu tượng đi trước yêu cầu; chữ "xây dựng" viết ở đoạn trên, do đó, chỉ có nghĩa là củng cố chặt chẽ về mặt lý luận mà thôi.

2.1. Chữ "không" trong Luận lý học hình thức

Thuyết tập hợp hồn nhiên chỉ là sự phát biểu lại những nguyên tắc lý luận đã có từ cổ đại, theo một cách khác. Thí dụ tam đoạn luận nổi tiếng : "làm người ai cũng phải chết, Socrate là người, vậy Socrate cũng phải chết", có thể được phát biểu như sau : "Tập hợp người nằm trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết, Socrate là một phần tử của tập hợp người, vậy thì Socrate cũng có trong tập hợp những thực thể sẽ phải chết". Như thế mọi lý luận được đưa về một loại quan hệ độc nhất : quan hệ "có trong" giữa một phần tử và một tập hợp. Một quan hệ phái sinh rất thuận tiện, định nghĩa được từ quan hệ đầu, là quan hệ "nằm trong" giữa hai tập hợp.

Đó chỉ là một cách nhìn, nhưng cách nhìn này đưa đến nhiều thuận lợi:

1.      Viết ra được những ký hiệu ngắn gọn: thí dụ  (phần tử a có trong tập hợp A),  (tập hợp B nằm trong tập hợp A)...

2.      Xác định được rõ ràng ý nghĩa của những khái niệm lôgích căn bản : phủ định, hay, và, dẫn đến...

3.      Tránh được những nghịch lý do sự thiếu chặt chẽ của những lý luận bằng ngôn ngữ tự nhiên đưa đến,

4.      Và sau cùng, ở thời đại chúng ta không thể không nhấn mạnh : những thao tác trên các ký hiệu do đó hoàn toàn có thể tự động hoá được. Khả năng này được sử dụng đại trà trong các máy tính điện tử dưới nhiều hình thức.

Thí dụ chuỗi ký hiệu :  được đọc như sau : điều kiện cần và đủ (xem ký hiệu 1) để B nằm trong A là, với bất cứ phần tử x nào (xem ký hiệu 2), nếu x có trong B thì x cũng có trong A (xem ký hiệu 3). Bằng một một số rất nhỏ các thao tác hoàn toàn máy móc để thay đổi các ký hiệu, người ta (hay máy tính) có thể "nhắm mắt" viết chuỗi ký hiệu:  ; đọc như sau : điều kiện cần và đủ để B không nằm trong A (xem ký hiệu 7) là có một phần tử x (xem các ký hiệu 4 và 5), có trong B và (xem ký hiệu 8) không có trong A (xem ký hiệu 6). Xin xem giải thích của các ký hiệu trong khung đi kèm dưới đây, trong đó hàm không(...) là hàm phủ định tổng quát của lôgích.

Ngay ở đây ta thấy có hai chữ "không" khác nhau. Đoạn trên là một thí dụ về chữ không trong tính toán lôgích. Chữ "không" thứ hai ta gặp khi đem áp dụng lôgích trong đời thường. Phủ định trong đời thường là phủ định của một tính chất nào đó của một sự vật (hay tập hợp sự vật) nào đó, "xe của ông Nguyễn màu đen" là một mệnh đề, và phủ định của mệnh đề đó là : "xe của ông Nguyễn không phải màu đen". Như vậy lôgích hình thức là một phép lý luận tổng quát dựa trên việc biến đổi các chuỗi ký hiệu trừu tượng một cách máy móc; và lý luận bằng ngôn ngữ trong đời thường là nói về tính chất của các sự vật cụ thể trong đời thường. Ở giữa hai bên là thao tác mô hình hoá, đi từ cụ thể đến trừu tượng, và thao tác diễn tả, đi từ trừu tượng đến cụ thể.

Thí dụ câu nói : "Có một chiếc tải xe màu đen do hãng Ford sản xuất". P đúng hay sai ? Có hai cách để có câu trả lời. Một là điểm qua tất cả các xe có trên đời này, điều trên nguyên tắc làm được, vì số xe ấy hữu hạn. Hai là tin tưởng vào một đặc tính nào đó phổ quát hơn, và suy ra kết luận trên, thí dụ : hãng Ford làm đủ mọi loại xe, mỗi loại xe của hãng Ford đều một nửa là màu đen; cách này cho phép suy luận nhanh hơn, nhưng phức tạp hơn, và để chế ngự cái phức tạp thì việc áp dụng những mô hình lôgích là có ích.

Không thể làm cách thứ nhất với những tập hợp vô tận, vậy để áp dụng lôgích hình thức, cần có những mệnh đề tiên thiên được chấp nhận là đúng, nói đơn giản là muốn có kết luận đúng thì cần lý luận chặt chẽ và khởi đi từ những điều đúng; thêm nữa những mệnh đề tiên thiên đó phải không mâu thuẫn với nhau ¹². Chúng được gọi là những tiên đề (axiomes). Thuyết tập hợp tiên đề hoá cũng là một hệ thống tiên đề, được mở rộng ¹³ từ lôgích hình thức hồn nhiên, và một lý thuyết toán học là một hệ thống tiên đề được mở rộng từ thuyết tập hợp tiên đề hoá. Khi tất cả được quy về tiên đề thì miền áp dụng của lôgích không cần thiết phải hữu hạn, vì chỉ cần suy luận bằng cách biến đổi các mệnh đề, không bao giờ cần "điểm qua tất cả những sự vật" nữa.

Người ta yêu cầu tiên đề sau đây được chấp nhận: có một tập hợp không chứa một phần tử nào cả. Nói cách khác, khái niệm về cái không là khái niệm có thực. Người ta gọi nó là tập hợp rỗng (ensemble vide), và viết bằng ký hiệu Ø. Ø có trong thế giới diễn ngôn nhưng không biểu thị cái gì trong đời thường, nó là một cái hộp rỗng không, cái hộp ấy có thực.

Tại sao phải như thế ? người ta cần viết ra và suy luận một cách tự nhiên trên những mệnh đề rất giản dị như "những xe tải do hãng Ford sản xuất", đó là một tập hợp gồm những xe vừa là xe tải vừa là xe do hãng Ford sản xuất; tập hợp đó có thể chứa một số xe nhất định, cũng như không chứa một cái xe nào; nhưng, trước khi tìm hiểu và suy luận, người ta không biết rõ điều ấy. Vì vậy cần thiết gán cho cái không vai trò của một tập hợp, nghĩa là cũng có thể được thao tác như mọi tập hợp khác.

Có thể nói bằng lạm dụng ngôn từ là "ở trong tập hợp rỗng chỉ có hư vô", theo nghĩa không có gì trong thế giới thực tương ứng với hư vô: thời gian, không gian, màu sắc... đều không liên hệ gì với hư vô. Hư vô không phải là một khái niệm khoa học, nó khác với "chân không" mà ta sẽ bàn kỹ hơn sau, nhưng sự không phân biệt rõ ràng hai khái niệm này là nguồn gốc của một số lý luận sai lầm, ngay cả từ Descartes (1569-1650) và Leibniz ¹⁴ (1646-1716).

 2.2. Sơ lược về thuyết tập hợp tiên đề hoá, hạt nhân của thế giới toán-lý

Như đã trình bày ở trên, thế giới các thực thể (entité) toán học phải là một thế giới có vô tận phần tử, trong khi thế giới diễn ngôn toán học là hữu hạn. Để cho thực rõ ràng xin hình dung một "siêu thế giới" gồm bốn tầng "thế giới": tầng dưới cùng là thế giới hiện thực; hai tầng giữa là thế giới (vô tận) của các thực thể và cấu trúc toán học (xin gọi tắt là thế giới toán) bên trên, và thế giới vật lý học bên dưới, dùng toán học như một công cụ để mô hình hoá những sự vật và hiện tượng trong thế giới hiện thực (xin gọi chung cả hai tầng này là thế giới toán-lý); tầng trên cùng là thế giới hữu hạn của diễn ngôn toán học (xin gọi tắt là thế giới diễn ngôn toán, bao gồm thế giới diễn ngôn lôgích).

Bảng A tóm tắt các "thế giới" khác nhau của khoa học luận, mà sự hình thành có thể mường tượng như những vòng xoáy ốc theo trục nằm ngang, đi từ hiện thực (cụ thể) đến mô hình (trừu tượng) rồi trở về hiện thực... đồng thời phát triển rộng hơn và phức tạp hơn với thời gian theo hướng từ trái sang phải. Vòng xoáy giữa cụ thể và trừu tượng này là một vận động không ngừng của trí tuệ loài người, có thể giản lược thành ba giai đoạn lớn : thời tiền sử bắt đầu với sự xuất hiện của ngôn ngữ, rồi tới thời bùng nổ tư duy, từ khoảng một thiên niên kỷ trước công nguyên cho tới khi xuất hiện khoa học hiện đại, và cuối cùng là thời đại khoa học, từ đầu thế kỷ 17 cho tới nay:

Bảng A: Mô hình hoá và hiện thực

Thế giới toán có vô tận tập hợp, và có những tập hợp có vô tận phần tử, do đó không còn có thể tin tưởng vào sự đồng thuận giữa trực giác của mọi người để xác định một thực thể toán học là có trong hay không có trong một tập hợp (đồng nghĩa với việc nó mang một đặc tính nào đó). Người ta chỉ còn cách duy nhất là dựa trên nguyên lý sau : nếu một mệnh đề lôgích nào suy ra được từ các tiên đề của một lý thuyết toán thì mệnh đề đó là đúng. Việc chỉ cần lý luận trên các tiên đề cho phép người ta đồng thuận trên các kết quả đạt được mà không cần cùng nhau kiểm qua tất cả các sự vật trong một thế giới có thể vô tận. Dĩ nhiên nói chung phần lớn các tiên đề đã được đúc kết từ những tính chất hiển nhiên trong thế giới hữu hạn, mà dưới đây ta sẽ xem vài thí dụ.

1.      Tiên đề tập hợp rỗng : Có một tập hợp rỗng, không chứa một phần tử nào ¹⁵.

2.      Tiên đề ngoại diên – axiome d'extensionnalité yêu cầu rằng : nếu hai tập hợp có cùng những phần tử như nhau thì hai tập hợp đó là một. Tiên đề này cũng có hậu quả là mọi phần tử của tập hợp đều phân biệt được với nhau.

3.      Tiên đề có đôi – axiome de la paire : nếu có a và có b thì cũng có tập hợp {a,b} chứa cả a lẫn b và không chứa gì khác. (Xin dùng "{" và "}" để chỉ một tập hợp với các phần tử bên trong).

4.      Tiên đề gộp lại được – axiome de la réunion : với bất cứ hai tập hợp bất kỳ nào cũng có một tập hợp mà những phần tử của nó gồm, và chỉ gồm, các phần tử của hai tập hợp đầu.

Tới đây ta thử xem, với 4 tiên đề vừa liệt kê, thế giới toán đã có thể chứa những gì ?

·         Trước hết thế giới toán có ít nhất một thành viên : đó là tập hợp rỗng Ø (bây giờ ta đặt tên cho nó là số không), Ø ≡ 0 (ký hiệu ≡ có nghĩa hai vế phải trái là hai tên khác nhau của cùng một thứ)

·         Sau đó : có một tập hợp {Ø} (tên của nó là số một), đó là trường hợp đặc biệt của tiên đề có đôi, khi cả a và b đều là Ø, khi đó theo tiên đề ngoại diên thì {Ø} chỉ có 1 phần tử. Số một là tên của tập hợp chứa số không, 1 ≡ {Ø} ≡ {0}.

·         Vậy, lại theo tiên đề có đôi, có một tập hợp {Ø, {Ø}} ≡ {0,1}, chứa hai phần tử : số không và số một. Tên của nó là số hai. Như thế cũng lại có thêm một tập hợp nữa chứa số một và số hai {1,2}.

·         Bây giờ sử dụng tiên đề gộp lại được với {1,2} và {0}, ta có một tập hợp chứa ba phần tử, là số không, số một và số hai. Tên nó là số ba.

Tới đây ta nhận ra bằng cách nào các nhà luận lý học đã định nghĩa được các con số không, số một, số hai, ba, bốn... tới lớn bao nhiêu cũng được ¹⁶.

Trong khuôn khổ bài này không thể trình bày tiếp tục làm thế nào, và với những tiên đề phụ trội cần thiết nào, người ta đã thiết lập được một thế giới toán có khả năng mô hình hoá những bài toán đơn giản của đời thường, như số phân, số lẻ, số âm... vòng tròn, đường thẳng... và cả những thực thể vật lý rất phức tạp như những không gian có nhiều chiều, những không gian "cong"... Thế giới toán đó đầy đặc vô tận những phần tử và những tập hợp, trong đó có một "cái .Ækhông" duy nhất tên là  Một miền của không gian vectơ toán học ba chiều có thể dùng để làm mô hình cho một khoảng không gian vật lý trong đó người ta có thể tin là "không có thực thể vật chất nào". Điều này đúng hay không đúng đều có nghĩa, nhưng miền không gian vectơ toán học tương ứng với khoảng không gian vật lý ấy chứa vô tận và đầy đặc những điểm toạ độ, thực sự là có trong thế giới toán.

2.3. Con số không trong Toán học

Toán học là một ngôn ngữ công cụ dùng để viết ra những quy luật vật lý. Nhưng nếu chỉ có thế thì vẫn còn hoàn toàn trừu tượng, "chân vẫn chưa chạm đất"; việc áp dụng toán học vào đời sống cuối cùng phải thoả mãn hai yêu cầu, thứ nhất là để trực tiếp biết về một đại lượng nào đó của một sự vật nào đó qua đo lường, thí dụ như chiều dài, chiều rộng, chiều cao, của một bể nước hình khối vuông góc ; yêu cầu thứ hai cũng là để biết, một cách gián tiếp, về một đại lượng nào đó qua tính toán từ những đại lượng đo lường được, bằng cách dùng những công thức vật lý thích hợp, thí dụ như để tính toán xem bể nước ấy chứa được bao nhiêu nước, bằng cách tính thể tích của nó qua phép tính nhân ba cạnh của bể nước với nhau.

Trong vai trò đo lường, con số không không có ý nghĩa gì đặc biệt. Nó chỉ là cái mốc được chọn theo quy ước. Khi một đầu của chiều ngang (chẳng hạn) được áp vào vạch không của cái thước thì ở đầu kia người ta đọc được ngay giá trị của chiều ngang của bể nước.

Trong vai trò tính toán thì con số không quả có những "ứng xử" khác các con số khác. Trong tính cộng thì nó là một phần tử trung lập : a + 0 = a, và a - a = 0 ; ở đây vai trò "tập hợp rỗng" vẫn tồn tại, nhưng hơi khác với khái niệm rất tổng quát "rỗng tức là không chứa gì cả" của ngôn ngữ lôgích học. Khi đem toán học áp dụng trên thế giới hiện thực, thì tuỳ khung cảnh áp dụng mà số không mô hình hoá một cái "không có" cụ thể hơn. Nếu a (khác 0) có thể là ba hay là bảy hòn sỏi thì 0 bây giờ là "không có hòn sỏi nào". Trong tính nhân ta lại có a*0 = 0. Vì a*x là sự mô hình hoá "x lần a", nên với bất kỳ đại lượng a nào, 0 lần a cũng là không.

Nhưng điều cần để ý ở đây là : nhìn trên khía cạnh thao tác trong diễn ngôn toán thì chỉ cần định nghĩa +0 và *0 như hai hàm số đặc biệt, có các tính chất nói trên. Định nghĩa này vì độc lập với mọi áp dụng, nên không thể và không cần diễn tả ý nghĩa cụ thể của nó, ý nghĩa cụ thể chỉ có khi đem toán học áp dụng vào những trường hợp cụ thể.

Cũng không thể quên vai trò của con số không trong việc hình thành hệ thống đếm thập phân. Những công trình khảo cổ cho biết có khả năng lớn là cách đếm thập phân như hiện nay chúng ta dùng đến từ Ấn Độ, niên đại vào khoảng năm -300. Trước đó, một nền văn minh vĩ đại như nền văn minh Babylone cũng đã đến gần thành công này từ khoảng -1800, nhưng không có được bước nhảy quyết định: họ có một hệ thống đếm theo cơ số 60 (một lần 10 và một lần 6), nhưng thật kỳ lạ: thay vì sáng tạo ra số không, họ chỉ để trống một khoảng cách. Người Hy Lạp cổ đại, với nền khoa học và triết học sâu sắc đồ sộ là thế, cũng không có số không. Người Trung Quốc với bàn toán tiện lợi một cách thần kỳ, cũng vậy.

Tại sao sáng tạo số không khó khăn như thế ? Hiển nhiên là vào thời cổ đại ký hiệu chỉ được dùng để đại biểu cho những gì có thực trong đời thường, không có một ký hiệu nào đại diện cho cái "không có gì" vì ngay cả cái "không có gì" cũng là cái không ai nghĩ tới.

3. "Chân không" trong Vật lý học

3.1. Truyền thống Hy Lạp

Có thể định nghĩa "chân không" ¹⁷ là đặc tính của một vùng không gian nào đó, mà trong đó tuyệt đối "không có gì". Tại Hy Lạp cổ đại, hai bậc thầy vĩ đại là Platon và Aristote đều coi là "không có cái chân không", "tự nhiên ghê tởm chân không"... cái chân không là không thể hiện hữu, quan niệm này thoát thai từ nhận định về vật chất, mỗi sự vật trong tự nhiên kể cả khí trời là bao gồm các thể chất (substance) liên tục, có thể rất cứng rắn hoặc rất mềm dẻo, chia nhỏ được mãi mãi, và ở vùng nào trong không gian cũng phải có một thể chất nào đó. Điều này đi ngược hẳn lại quan điểm của Leucipe và Democrite: sự vật do các nguyên tử cấu thành, nguyên tử, theo định nghĩa là rời rạc, tuyệt đối cứng rắn, không thể chia cắt, vậy để vật chất có thể biến chuyển được thì các nguyên tử phải chìm trong một môi trường "không có gì". Cho nên trường phái nguyên tử cũng chủ trương có chân không. Hai luồng tư tưởng hoàn toàn tư biện và hoàn toàn trái ngược nhau này tranh luận tự do, nhưng rồi tới thời Trung cổ thì ý tưởng nguyên tử rơi vào quên lãng trong vòng hơn một nghìn năm, cùng với nó là khái niệm chân không.

3.2. Từ Galilei tới Newton

Đó là thời kỳ trước cuộc cách mạng khoa học mà người mở đường tiêu biểu là Galilei. Galilei cho rằng sự ghê tởm chân không của tự nhiên là có giới hạn, và giới hạn đó có thể đo được bằng một cột nước cao khoảng 10 m, quy luật này do ông phát hiện khi quan sát hiện tượng những máy hút nước bằng pít-tông không thể hút nước cao hơn thế, vì khi đó trong pít-tông tự nhiên hiện ra một khoảng "chân không" ở bên trên cột nước. Người thư ký của Galilei, Torricelli (1608-1647) năm 1643 nảy ra sáng kiến dùng cột thuỷ ngân thay cho cột nước, và thấy rằng sau khi tạo ra chân không thì áp suất của cột nước và cột thuỷ ngân ngang nhau. Ông giải thích chiều cao của cột thuỷ ngân bằng sức đẩy thuỷ ngân lên cao do sức ép của không khí trong khí quyển (đặt cơ sở cho phong vũ biểu Torricelli). Khái niệm "tự nhiên ghê tởm chân không, nhưng có giới hạn" hay khái niệm "sức hút của chân không" không còn cần thiết nữa, chân không là một trạng thái bình thường của tự nhiên, cũng như vật chất. Thuyết của Torricelli được Pascal (1623-1662) chứng minh hùng hồn bằng cuộc thí nghiệm nổi tiếng năm 1648 khi đo nhiều lần áp suất khí quyển từ dưới chân núi Puy de Dôme lên đến trên cao. Từ đó phe "bình thường hoá chân không" bắt đầu thắng thế, nhưng cuộc tranh luận với phe "chân không = hư vô = không thể hiện hữu" còn tiếp tục lâu dài, như chúng ta đã thấy với Descartes và Leibniz ¹⁴.

Phải đến Newton (1642-1727) với quy luật vạn vật hấp dẫn thì trong thế kỷ thứ 18 mới hình thành một mô hình vũ trụ hoàn chỉnh trong đó vật chất quy tụ thành các ngôi sao, mặt trời và các hành tinh vận động trong một không gian cố định, vô tận, trống rỗng, và nhất là đo đạc được trong hệ thống toạ độ của Descartes. Ngoài những khoảng không gian chứa vật chất là chân không. Như vậy, phía ngoài trái đất, và bầu khí quyển bao bọc nó, chủ yếu là chân không. Mô hình này, do sự hoàn chỉnh của nó, được đánh đồng với thế giới hiện thực một cách vô thức, vũ trụ là như thế.

Thế nhưng, nếu theo đúng định nghĩa "chân không" là cái nằm trong một khoảng không gian trong đó "không có gì cả", thì phải đặt câu hỏi : vậy trong vũ trụ chỉ có vật chất thôi sao ? Trong các thế kỷ 17 và 18 các bác học khi khảo sát thế giới vật chất đã gặp những khái niệm / hiện tượng không dễ quy về vật chất một cách hiển nhiên, nếu không muốn nói là hiển nhiên không quy về vật chất được : ánh sáng và năng lượng. Cho nên nếu người ta vẫn chấp nhận khái niệm chân không là rất hữu ích để quan niệm về một môi trường "có trước", như một sân khấu trong đó có vật chất vận động cũng như có ánh sáng truyền qua, thì cũng không thể nói dứt khoát một khoảng không gian trong đời thường là "không có gì cả" khi nó không chứa vật chất. Newton cho rằng ánh sáng cũng là một thứ hạt tương tự như vật chất; Huyghens lại cho rằng ánh sáng là sóng, và tương tự như sóng nước hay sóng âm thanh, nó không có bản chất riêng, mà chỉ là dao động của môi trường, do đó vũ trụ phải chìm trong một chất gọi là ête (éther), môi trường qua đó ánh sáng được truyền đi.

3.3. Khủng hoảng

Vấn đề còn để ngỏ cho đến đầu thế kỷ 19 khi những nghiên cứu về ánh sáng của Young và Fresnel, kế thừa những công trình của Huyghens, giải thích được gần như toàn bộ các hiện tượng của ánh sáng. Trong thế kỷ 19 trường phái ête thắng thế, và như vậy không hề có "chân không". Nhưng ête vẫn là một cái gì rất lạ kỳ, vừa tuyệt đối "trong suốt", hoàn toàn không cản trở sự vận động của vật chất, vừa phải tuyệt đối "cứng rắn" để có thể truyền đi "tức thời" và với hiệu suất 100% trọng trường và năng lượng, và không ai làm được một thử nghiệm nào có khả năng trực tiếp hay gián tiếp phát hiện ra gì thêm về ête cả.

Đến cuối thể kỷ 19, Maxwell thiết lập một phương trình truyền sóng duy nhất cho điện từ và cho ánh sáng, vừa thống nhất hai hiện tượng này, vừa cho thấy đây là một hình thức sóng mới, có thể được mô tả một cách hoàn toàn độc lập với mọi môi giới. Tiếp theo đó là thí nghiệm của Michelson nhằm tìm ête qua chuyển động của trái đất, mà kết quả là phủ định : vận tốc ánh sáng không thay đổi, dù được đo theo chiều chuyển động của trái đất hay ngược lại; trong khi nếu ánh sáng cần ête để truyền đi, và nếu trái đất bay quanh mặt trời trong vũ trụ thì đáng nhẽ kết quả phải khác, theo những nguyên lý của Newton.

Khủng hoảng. Và như chúng ta đã biết, đầu thế kỷ 20 hai lý thuyết vật lý mới đã xuất hiện, mang lại những giải thích thoả đáng cho rất nhiều hiện tượng mà trước nay chưa giải thích được, do đó cũng mang lại rất nhiều ứng dụng hiệu quả trong đời sống... Đó là TTĐ và CHLT mà chắc độc giả đã quen thuộc với các khái niệm ¹⁸. Riêng về khái niệm chân không, hai thuyết này không thống nhất.

3.4. Einstein và Thuyết tương đối

TTĐ ràng buộc thời gian, không gian và vật chất với nhau trong một mô hình toán học theo đó cấu trúc của vũ trụ ở mỗi điểm cục bộ có thể được mô tả gần đúng như một không gian ba chiều cổ điển, với chiều thứ tư là thời gian, nhưng toàn bộ vũ trụ thì không còn có thể được mô hình hoá với không gian ba chiều độc lập với thời gian nữa. Thời gian phụ thuộc vào vị trí và vận tốc của người (hay thiết bị quan sát) đang chuyển động, và không gian thì bị "uốn cong" theo sự hiện diện của các vật thể trong vũ trụ. TTĐ có hai bước phát triển :

TTĐ hẹp khởi đi từ hai tiên đề : 1) tính tương đối của các hệ quy chiếu chuyển động thẳng đều với nhau – với ý nghĩa chính xác của chữ "tương đối" là các quy luật vật lý phải hoàn toàn như nhau trong các hệ quy chiếu này – và 2) vận tốc ánh sáng là hằng số trong tất cả các hệ quy chiếu ¹⁹. Từ đó suy ra công thức chuyển hoá vật chất - năng lượng E = mc² lừng danh, và phát hiện không gian cũng như thời gian đều không tuyệt đối ²⁰. Không gian và thời gian trở nên không độc lập với nhau, mà chỉ tồn tại như một dạng hợp nhất diễn tả bằng không-thời-gian của Minkowski ²¹. Nhưng TTĐ hẹp vẫn giữ một không-thời-gian Minkowski phẳng, nó là một tiệm cận gần đúng của TTĐ rộng trong trường hợp trọng trường rất nhỏ như tại những nơi trong vũ trụ cách xa các thiên thể, hoặc trong các bài toán mà hấp lực của trọng trường là không đáng kể so với các lực khác.

TTĐ rộng "mở rộng" TTĐ hẹp theo nghĩa thuyết này khẳng định tính tương đối (vẫn theo nghĩa trên) của các hệ quy chiếu chuyển động bất kỳ. Để viết ra được những quy luật vật lý thống nhất trong mọi hệ quy chiếu như thế, Einstein đã phải nghiên cứu và tự mình phát triển toán học trong nhiều năm, cuối cùng ông đã đi tới một mô hình vũ trụ theo hình học phi Euclide kiểu Riemann. Chúng ta đã biết hình học trên bề mặt trái đất không phải là hình học phẳng mà là một hình học của bề mặt hình cầu có độ cong, mặt phẳng chỉ là tiệm cận của mặt cầu khi độ cong không đáng kể. Tương tự như vậy, trong vũ trụ của TTĐ rộng, thế giới cục bộ được diễn tả một cách tiệm cận như không-thời-gian bốn chiều Minkowski, nhưng khi nhìn tổng thể thì không-thời-gian của vũ trụ có độ cong, và lực hấp dẫn vũ trụ của Newton không gì khác hơn là độ cong của không-thời-gian theo hình học Riemann nói trên, và bài toán cơ học rốt cục được chuyển thành bài toán hình học thuần túy.

Để dễ tưởng tượng ta giả thử không gian chỉ có hai chiều thôi, như thế ở mỗi lúc không gian đó như một bề mặt không bằng phẳng có các khối lượng (dẹp, vì hai chiều) và khoảng trống, có đồi núi và lũng sâu, nơi mật độ vật chất càng cao thì bề mặt càng lún sâu, hình dạng của bề mặt không cố định với thời gian mà liên tục trồi lên sụt xuống, uốn lượn, cùng với sự di chuyển của các khối lượng. Trong "không gian" đó có một con đường ngắn nhất giữa hai điểm nhất định, gọi là đường trắc địa (ligne géodésique) – đó là cái tương đương với đường thẳng nhưng không phải là đường thẳng vì ta giả định không gian hai chiều nên nó phải được vẽ lên bề mặt cao thấp quanh co – và nếu không có lực nào tác động lên nó, mọi vật đều sẽ đi theo một đường trắc địa. Với không gian "cong" ba chiều cũng thế, ta có thể tưởng tượng một vùng không gian ở đó trọng trường rất mạnh so với khoảng không gian xa hơn, thì đấy là một "lũng sâu" trên "bề mặt ba chiều" của không gian cong; và "đỉnh đồi" là một nơi mà trọng trường bằng không.

TTĐ giải quyết sự chuyển động của sóng điện từ (bao gồm ánh sáng) như là chạy theo một đường trắc địa một cách tự nhiên, không cần môi trường nào khác. TTĐ cũng giải quyết bản chất của năng lượng vì vật chất là năng lượng, và khi vật chất phát ra sóng điện từ thì nó cũng nhẹ bớt, sóng điện từ không có trọng lượng nhưng có năng lượng do vật chất mất đi chuyển hoá thành. Vậy có thể nói trong TTĐ vẫn có chân không, đó là một khoảng không "tối đen" không có sóng điện từ, vì ngoài vật chất và sóng điện từ ra thì "không có gì khác", TTĐ đã giữ lại chân không của vật lý Newton và còn thuần khiết hoá bằng cách giải quyết hai vướng mắc cơ bản như đã nói trên.

TTĐ khi áp dụng trong tầm vĩ mô của vũ trụ (và cả tầm trung mô của các vật thể ở tầm con người nhận thức được) là rất chính xác, vì ở kích cỡ đó lực hấp dẫn vũ trụ là quan trọng nhất, và cho đến nay không có phản nghiệm (réfutation, theo nghĩa của Popper) nào. Không-thời-gian của mô hình tính toán trong TTĐ có thể được đồng hoá với không-thời-gian đời thường một cách (rất) gần đúng ở kích cỡ cục bộ vi mô và trung mô, vì cũng chỉ có bốn chiều cơ bản, vận động trong đó là sóng điện từ và vật chất. Nhưng xin nhấn mạnh, không-thời-gian không "có trước", hay độc lập, với vật chất. Tất cả là một thể thống nhất, nếu không có vật chất thì cũng không có không-thời-gian.

3.5. Cơ học lượng tử

CHLT được áp dụng một cách rộng khắp và rất chính xác cho những vật thể có kích cỡ vi mô, "hạ nguyên tử" (và hiện nay có thể lên đến kích cỡ phân tử), tuy nhiên như thế không có nghĩa ảnh hưởng của nó không có gì trên kích cỡ lớn hơn. Ngược lại, CHLT là cơ sở lý thuyết để hiểu sâu sắc hơn ngành hoá học và khoa học vật liệu, từ đó đã nảy sinh một cuộc cách mạng kỹ thuật từ nửa sau thế kỷ 20 cho đến nay, với bán dẫn, sợi quang học, lade, mạch tổ hợp ngày càng nhỏ với khả năng tính toán ngày càng lớn... như ta đã biết.

Ở kích cỡ hạ nguyên tử thì lực vạn vật hấp dẫn là rất nhỏ so với ba loại lực khác mà người ta đã phát hiện là lực điện từ (10⁴² lần mạnh hơn, lực duy nhất đo được ở kích cỡ đời thường), lực tương tác yếu và lực tương tác mạnh, hai lực này chỉ có ý nghĩa bên trong hạt nhân các nguyên tử, và ở kích cỡ đó đến lượt lực điện từ cũng trở thành không đáng kể. Sự khác biệt về kích cỡ này giải thích một phần nào những khó khăn nếu người ta muốn thực hiện một thí nghiệm có cả vai trò của TTĐ rộng lẫn CHLT. Khi người ta muốn đo một cách có ý nghĩa các lực điện từ, lực tương tác yếu và mạnh thì chỉ có thể coi trọng trường bằng không, nghĩa là làm mô hình tính toán trong một không-thời-gian "phẳng". Có lẽ phần nào vì thế mà đứng về mặt lý thuyết hiện nay người ta mới chỉ kết hợp được CHLT và TTĐ hẹp. Kết hợp này vừa rất cần thiết vừa được thực nghiệm hỗ trợ, vì các hạt lượng tử có thể xuất hiện với vận tốc rất cao. Những nghiên cứu cơ bản của vật lý và toán học hiện nay là nhằm thống nhất vật lý lượng tử và TTĐ rộng.

Cũng như những thí nghiệm vật lý khác, một thí nghiệm CHLT là một tình huống khách quan trong đời thường mà những nhiễu loạn ngoài ý muốn được thanh lọc (điều kiện để thí nghiệm có thể được lập lại). Người ta phải xác định rõ tình huống thí nghiệm một cách rất tổng thể ở điểm khởi đầu, mà những tham số được đem vào mô hình tính toán, sau đó kiểm nghiệm kết quả bằng đo lường trong một khung cảnh cũng được xác định rõ một cách tổng thể. Tuy nhiên, thí nghiệm CHLT có một số đặc điểm rất khác với các thí nghiệm cổ điển, đó là :

·         Sự phân bố lượng tử trong thời gian và không gian ở điểm khởi đầu và điểm kết thúc của thí nghiệm đều chỉ có thể là một sự phân bố có tính xác suất. Ở giữa hai thời điểm đó là sự vận động thuần tuý trong mô hình, một cách tất định, của sóng xác suất, và trong mô hình chỉ có sóng xác suất. Một trong những kết quả của phương trình sóng của CHLT (phương trình Schrödinger, được Dirac mở rộng cho TTĐ hẹp) có nghĩa như sau : bình phương của biên độ sóng ở một điểm trong không gian là xác suất xuất hiện của lượng tử ở điểm đó. Đây là nguyên uỷ của sự diễn tả lượng tử như có lưỡng tính hạt và sóng.

·         Trong cơ học cổ điển người ta không nghi ngờ gì về khả năng có thể phóng chiếu một cách liên tục mô hình của vũ trụ vào vũ trụ của đời thường (và ngược lại). Giả thử hai thí nghiệm được chuẩn bị với tình huống khởi đầu giống nhau ở thời điểm T₀. Ở lần thí nghiệm đầu kết quả được đo vào thời điểm T₂ là A. Trong thí nghiệm thứ nhì người ta ta đo một kết quả trung gian ở thời điểm T₁ với T₀ < T₁ < T₂ , và sau đó kết quả đo được tại T₂ là A'. Trong vật lý cổ điển (kể cả TTĐ) hai kết quả A và A' rất gần nhau, có thể coi sự khác biệt là không đáng kể, do những sai số của điều kiện thí nghiệm và sự nhiễu loạn do đo lường ở thời điểm T₁. Trong CHLT thì không như thế. Không phải chỉ vì sự nhiễu loạn do đo lường là rất mạnh trên lượng tử, mà còn vì những lý do khác sâu sắc hơn ²². Hai thí nghiệm là hoàn toàn khác nhau, có khi một bên làm tỏ rõ tính chất hạt, và một bên làm tỏ rõ tính chất sóng. Trong CHLT không có sự phóng chiếu liên tục giữa mô hình và hiện thực, không (chưa ?) thể nói lượng tử là gì trong khoảng thời gian giữa hai đo lường, ngoài việc có thể tính toán với nó để tiên đoán những kết quả đo lường ở những thời điểm rời rạc. Mà kỳ lạ thay, những tiên đoán đó lại vô cùng chính xác.

·         Mô hình dùng để tính toán trở nên rất phức tạp, khi được phát triển để dung hợp với TTĐ hẹp nó càng phức tạp hơn. Người ta sử dụng những không gian vectơ có vô tận chiều kích (dimensions), sử dụng một lý thuyết "trường lượng tử ", kết quả của sự lượng tử hoá lý thuyết trường cổ điển. Người ta sử dụng hai toán tử mới : "toán tử tạo sinh" (opérateur de création) và "toán tử huỷ diệt" (opérateur d' annihilation) để mô tả những tương tác giữa các lượng tử. Lý thuyết "trường lượng tử" hiện nay là lý thuyết nền tảng của "mô hình chuẩn" trong CHLT, đó là mô hình được sự đồng thuận của các nhà vật lý vì nó bao quát các kết quả lý thuyết và thực nghiệm tốt nhất cho đến nay, để từ đó nghiên cứu xa hơn, và một lý thuyết mới dù sao cũng sẽ phải dung hợp được mô hình chuẩn.

Điểm xuất phát của CHLT là hiện tượng một vật thể chỉ trao đổi năng lượng với bên ngoài qua từng đơn vị tối thiểu E = hλ, trong đó λ là tần số dao động của sóng điện từ mà nó phát ra. Vì h (hằng số planck) rất nhỏ nên trước cuối thế kỷ 19 hiện tượng này không được khám phá. h rất nhỏ nhưng hậu quả thật to lớn : ở tầng tế vi nhất của vật chất người ta gặp sự rời rạc. Cho đến nay sự rời rạc, sự bất định, và sự ngẫu nhiên, được coi là ba tính chất cơ bản của thế giới lượng tử. Xin thêm là công thức E = hλ tự nó đã biểu thị lưỡng tính sóng - hạt của lượng tử, vì tần số là một biểu hiện của sóng, và năng lượng phát ra thành từng gói cố định là biểu hiện của hạt.

Những tiên đề làm nảy sinh CHLT bắt nguồn từ những hiện tượng của đời thường quan sát được ở kích cỡ vi mô, lý thuyết – gồm mô hình tính toán – được sáng tạo để giải thích các hiện tượng đó. Nhưng đến lượt nó các mô hình này đã tiên đoán nhiều vấn đề rất kỳ lạ, rất khó chấp nhận vì đi ngược lại với trực giác con người cũng như với những niềm tin tất định luận đã hằn sâu trong lý trí qua gần ba thế kỷ áp dụng vật lý học cổ điển. Đại đa số nhưng chưa phải tất cả các tiên đoán lần lượt được thực nghiệm khẳng định, với độ chính xác rất cao. Những điều ấy, cộng với việc cần dung hợp TTĐ rộng và CHLT trong một nền vật lý học tương lai ²³, là những chủ đề còn đang được nghiên cứu.

Dòng "bản thể" trong Bảng B muốn nêu ra khung cảnh của những bàn cãi hiện nay về những diễn tả khác nhau của CHLT. Theo cách hiểu chủ quan của người viết bài này, những diễn tả đó là những cố gắng sáng tạo một loại mô hình nằm giữa mô hình lý thuyết dùng để tính toán và những hiện tượng đời thường, một vũ trụ lý tưởng – mà những tham số được dùng trong lý thuyết và thực nghiệm – bao quát mọi hiện tượng của vũ trụ đời thường như sự tiệm cận gần đúng của nó. Một vũ trụ lý tưởng như thế có thể được gọi là bản thể. Khung "bản thể" của mô hình chuẩn hiện nay còn là một màu xám trống rỗng, vì các nhà vật lý tuy đồng ý với nhau khi áp dụng CHLT, chưa đồng ý với nhau về cách "có thể hiểu" một vũ trụ khách quan của CHLT.

Bảng B : Hiện tại và những vấn đề tương lai

Những đề nghị khác nhau về bản thể có thể được coi là những ý tưởng gợi hứng cho việc phát triển nghiên cứu khoa học của mỗi trường phái, nhưng dù sao sự phát triển cũng vẫn phải theo phương pháp khoa học, đó là bằng cách lập hệ thống tiên đề diễn dịch, tính toán, và thực nghiệm. Ở trên viết "có thể hiểu" vì lý do đó, vì chỉ "hiểu được" thế nào là bản thể, trong nghĩa một vũ trụ khách quan, khi nó là duy nhất và bao quát mọi hiện tượng. Khi đó với thời gian, với sự trợ giúp của giáo dục, truyền thông, và nhất là của những ứng dụng diệu kỳ có ích cho cuộc sống mỗi người, thì vũ trụ lý tưởng đó do khoa học diễn tả sẽ trở thành vũ trụ đời thường của mọi người. Và chúng ta sẽ trở về một thời hoàng kim như thời hoàng kim của vật lý cổ điển, thời mà người ta không có nghi ngờ gì về bản thể của vũ trụ, "nó là như thế "; không nên quên rằng vũ trụ của Copernic-Galilei-Kepler-Newton đã cần cả thế kỷ để trở thành sự "hiển nhiên" phổ quát. Đây là nói như những người mang niềm tin "có thể hiểu". Có những nhà vật lý học lớn cho rằng vĩnh viễn con người sẽ không hiểu được "bản thể".

Nhưng dù sao đi nữa, ngoài lưỡng tính hạt và sóng, ít nhất có thêm hai hiện tượng chúng ta phải chấp nhận. Một là hiện tượng "không cục bộ" vô cùng nhức nhối, theo đó hai lượng tử được tạo thành từ một biến cố nào đó sẽ "vương vấn" với nhau dù đã xa nhau sau một khoảng thời gian. Vương vấn theo nghĩa nếu ta đo trị số của một đại lượng nào đó của lượng tử thứ nhất – một điều bí hiểm nữa là lượng tử chỉ có trị số đó một cách ngẫu nhiên khi được đo – thì lượng tử thứ hai lập tức sẽ mang một trị số của đại lượng ấy, có tương quan (correlation) mật thiết với trị số thứ nhất (khi được đo). Lập tức ở đây không có nghĩa chúng "thông tin" rất nhanh được cho nhau, mà ở đây cách hiểu giản dị nhất là phải coi chúng như một thực thể duy nhất, tuy chúng vẫn ở hai vị trí khác nhau trong không gian. Hiện tượng này không những đã được kiểm chứng bằng thực nghiệm, mà người ta đã dùng nó trong một thủ thuật truyền tin để bảo đảm bí mật tuyệt đối.

Và hai là "chân không" theo thuyết lượng tử không phải "không có gì". Nó hàm chứa năng lượng ²⁴, mật độ năng lượng của chân không đã được tính toán. Hiệu ứng Casimir là một tiên đoán về tác động có thực của năng lượng này trên vũ trụ đời thường, hiệu ứng này cũng đã được thực nghiệm chứng minh là có. Vậy "chân không" theo CHLT là gì ? xin trích dẫn nhà vật lý học Phạm Xuân Yêm : "Chân không lượng tử được định nghĩa như trạng thái cơ bản tận cùng của vạn vật, nó vô hướng, trung hoà, mang năng lượng cực tiểu trong đó vật chất, tức là tất cả các trường lượng tử, bị loại bỏ hết." ²⁵. Chỉ xin thêm là người ta đã đi đến khái niệm chân không lượng tử sau khi trải qua cả một thời kỳ xây dựng lý thuyết và thực nghiệm để kiểm chứng, nên chỉ có thể nắm bắt được khái niệm này trong toàn bộ khung cảnh của CHLT. Chẳng hạn như việc chân không lượng tử hàm chứa năng lượng chính là một hệ luận của nguyên lý bất định ²⁵.

4. Tạm kết

Tiền nhân nhiều khi có những trực giác kỳ diệu về thế giới và về nhận thức của con người. Trong các triết gia Á Đông hay Tây phương đều có những người như thế. Tuy nhiên nếu nhìn khuynh hướng chung thì có thể nói nhị nguyên là đặc điểm của tư tưởng Tây phương, phân biệt rõ thế giới ý tưởng và hạ giới, từ đó có ảnh hưởng đến sự phát triển của toán học như là ngôn ngữ của tự nhiên. Mặt khác tinh thần khoa học thực nghiệm – đã trở thành một sở hữu tư tưởng của cả loài người từ thế kỷ thứ 17 – là sự kết hợp của tinh thần thực dụng (mà ở đâu cũng có ít hay nhiều trong đời sống thực tế) và tinh thần trọng lý thuyết, vì thực nghiệm là so đọ giữa lý thuyết với quan sát hay đo lường.

Do đó thiển nghĩ định lượng là một yếu tố nội tại của khoa học tự nhiên, kể cả về mặt lý thuyết. Một lý thuyết hay một quan niệm triết học về thực tại, nếu không có yếu tố định lượng thì chỉ có thể gọi là "tiền khoa học" mà thôi. Tiền khoa học ở đây có thể hiểu theo hai nghĩa : đó có thể là một tư tưởng của thời kỳ trước thời kỳ khoa học hiện đại, và đó cũng có thể là một tư tưởng manh nha gợi hứng cho một lý thuyết khoa học chưa hoàn chỉnh vì chưa được mô hình hoá thành ngôn ngữ toán học với các tham số định lượng. Hai nghĩa này không loại trừ nhau. Sự sáng tạo luôn luôn hiếm có và bí ẩn, để sáng tạo một lý thuyết khoa học thì cảm hứng có thể đến từ bất kỳ đâu, kể cả cảm năng thẩm mỹ. Tuy nhiên có lẽ những ý tưởng sáng tạo không đến từ hư vô, những tư tưởng kỳ vĩ và phong phú của các tiền nhân Á Đông cũng như Tây phương là một nguồn cảm hứng lớn cho phép chúng ta hy vọng. Nhưng rồi mọi sự vẫn phải trở thành một lý thuyết vật lý, và với khoa học hiện đại thì lý thuyết đó, vì đã rời xa trực giác, chỉ có thể mang nặng tính hệ thống tiên đề - diễn dịch của luận lý học và toán học.

Lấy hai chữ không và chân không làm thí dụ, chúng ta đã thấy ý nghĩa của chúng, mặc dù thoát thai từ những trực giác đầu tiên của loài người, đã biến chuyển tuỳ theo thời đại. Sự biến chuyển đó có thể nói là do hai nguyên nhân chủ yếu: thứ nhất, học thuật và sáng tạo luôn luôn cần một môi trường tự do tư tưởng, tranh luận hoà bình, có như vậy mới giàu ý tưởng và mới có thể cọ sát những ý tưởng khác nhau rất cơ bản, nảy sinh từ những niềm tin, những nền tảng văn hoá sâu thẳm, của những người thực sự bác học và yêu chân lý. Thứ hai, tư tưởng nào được chấp nhận hay không trong khoa học là tuỳ theo yêu cầu nội tại của khoa học trong từng thời kỳ. Để lấy một thí dụ của thời hiện đại, cuộc tranh luận không nhân nhượng suốt 30 năm về những bí ẩn của lượng tử giữa hai người khổng lồ đồng thời là hai người bạn như Einstein và Bohr, là một tấm gương tuyệt vời về văn hoá khoa học.

Cuối cùng, khi một tư tưởng khoa học tương đồng với những tư tưởng cổ đại thì điều ấy có thể làm cho chúng ta sửng sốt và vui thú, tuy nhiên có lẽ không nên quên rằng những tư tưởng cổ đại đó là những tư tưởng tiền khoa học, mà sự phát triển thành một tư tưởng khoa học được đồng thuận rộng rãi là cả một quá trình gian khổ.

Người viết tiểu luận này xin cảm tạ các nhà khoa học Nguyễn Mai Ninh, Nguyễn Ngọc Giao, Hà Dương Tường, Nguyễn Xuân Xanh và Phạm Xuân Yêm, đã đọc trước bản thảo, khích lệ, và cho những góp ý quý giá. Mọi sai lầm và thiếu sót hoàn toàn thuộc trách nhiệm của tác giả.

Tháng 8.2007

Hà Dương Tuấn

Chuyên gia công nghệ thông tin

Sách tham khảo : (ngoài các trang mạng đã ghi chú)

Dẫn trong bài (theo thứ tự xuất hiện):

Nguyễn Xuân Xanh, Einstein, nxb Tổng Hợp, tp HCM, 2007

Fung Yu Lan, A short story of Chinese philosophy, The free press, NewYork, U.S.A. 1948, 1976.

Đây là bản rút gọn của tác phẩm tiếng Trung Quốc, A History of Chinese philosophy, nxb Princeton university press, 1983. do Derk Bodde lược dịch. Ông cũng là dịch giả nguyên bản đầy đủ mà người viết vì không biết Trung văn nên không thể dẫn bản nguồn. Tác phẩm lớn này có bản dịch tiếng Việt : Phùng Hữu Lan, Lịch sử triết học Trung Quốc, bản dịch của Lê Anh Minh, nxb Khoa học Xã hội, 2007. Trang quy chiếu ở đây do một người bạn tìm hộ.

Maurice Eduard Berthon, Les grands concepts scientifiques et leur évolution, nxb Publication Universitaire, Paris 2000.

Các sách tham khảo khác :

Richard Feynman : La Nature de la physique, nxb Seuil, coll. Points Sciences, Paris 1980, bản dịch tiếng Pháp này tập hợp 7 bài nói chuyện tổng quát về vật lý học cho sinh viên tại đại học Cornell, Hoa Kỳ, 1964; có thêm bài diễn từ nhận giải Nobel.

G. Cohen-Tannoudji & M. Spiro : La matière-espace-temps, nxb Fayard, coll. folio, Paris 1986,1990.

Bertrand Russell : ABC of relativity, nxb Routledge, 1993 (in lần đầu 1925).

Nhiều tác giả : Demain la physique, nxb Odile Jacob, 2004, tác phẩm phổ biến khoa học do 10 bác học đương đại người Pháp viết, với sự bảo trợ của Hàn lâm viện Khoa học.

Nguyễn Quang Riệu : Vũ trụ, phòng thí nghiệm thiên nhiên vĩ đại, nxb Giáo dục, 1995

Trịnh Xuân Thuận : La mélodie secrète, nxb Fayard, 1988, bản dịch tiếng việt của Phạm Xuân Thiều : Giai điệu bí ẩn. Và con người đã tạo ra vũ trụ, Nxb Khoa học và Kỹ thuật, 2001,

Mathieu Ricard & Trịnh xuân Thuận : Cái vô hạn trong lòng bàn tay, bản dịch của Phạm Văn Thiều & Ngô Vũ, nxb Trẻ - Tia sáng, 2005. Nguyên bản : L'infini dans la paume de la main, nxb Robert Lafont, Paris, 2000. Đối thoại hiếm có giữa một tu sĩ Phật giáo vốn nghiên cứu sinh học và một nhà vật lý thiên văn học thấm nhuần đạo Phật.

Chú thích

15 Để thí dụ, tiên đề này có thể viết như sau : .