Người ta yêu cầu tiên đề sau đây được chấp nhận: có một tập hợp không chứa một phần tử nào cả. Nói cách khác, khái niệm về cái không là khái niệm có thực. Người ta gọi nó là tập hợp rỗng (ensemble vide), và viết bằng kư hiệu Æ. Æ có trong thế giới diễn ngôn nhưng không biểu thị cái ǵ trong đời thường, nó là một cái hộp rỗng không, cái hộp ấy có thực.
Dĩ nhiên nói chung phần lớn các tiên đề đă được đúc kết từ những tính chất hiển nhiên trong thế giới hữu hạn, mà dưới đây ta sẽ xem vài thí dụ.
a) Tiên đề tập hợp rỗng : Có một tập hợp rỗng, không chứa một phần tử nào [1].
b) Tiên đề ngoại diên – axiome d'extensionnalité yêu cầu rằng : nếu hai tập hợp có cùng những phần tử như nhau th́ hai tập hợp đó là một. Tiên đề này cũng có hậu quả là mọi phần tử của tập hợp đều phân biệt được với nhau.
c) Tiên đề có đôi – axiome de la paire : nếu có a và có b th́ cũng có tập hợp {a,b} chứa cả a lẫn b và không chứa ǵ khác. (Xin dùng "{" và "}" để chỉ một tập hợp với các phần tử bên trong).
d) Tiên đề gộp lại được – axiome de la réunion : với bất cứ hai tập hợp bất kỳ nào cũng có một tập hợp mà những phần tử của nó gồm, và chỉ gồm, các phần tử của hai tập hợp đầu.
Tới đây ta thử xem, với 4 tiên đề vừa liệt kê, thế giới toán đă có thể chứa những ǵ ?
u Trước hết thế giới toán có ít nhất một thành viên : đó là tập hợp rỗng Æ (bây giờ ta đặt tên cho nó là số không), Æ ≡ 0 (kư hiệu ≡ có nghĩa hai vế phải trái là hai tên khác nhau của cùng một thứ)
u Sau đó : có một tập hợp {Æ} (tên của nó là số một), đó là trường hợp đặc biệt của tiên đề có đôi, khi cả a và b đều là Æ, khi đó theo tiên đề ngoại diên th́ {Æ} chỉ có 1 phần tử. Số một là tên của tập hợp chứa số không, 1 ≡ {Æ} ≡ {0}.
u Vậy, lại theo tiên đề có đôi, có một tập hợp {Æ, {Æ}} ≡ {0,1}, chứa hai phần tử : số không và số một. Tên của nó là số hai. Như thế cũng lại có thêm một tập hợp nữa chứa số một và số hai {1,2}.
u Bây giờ sử dụng tiên đề gộp lại được với {1,2} và {0}, ta có một tập hợp chứa ba phần tử, là số không, số một và số hai. Tên nó là số ba.
Tới đây ta nhận ra bằng cách nào các nhà luận lư học đă định nghĩa được các con số không, số một, số hai, ba, bốn... tới lớn bao nhiêu cũng được [2].
[1] Để thí dụ, tiên đề này có thể viết như sau : $Æ/( "x, xÏÆ)
[2] Ở đây người ta không khỏi liên tưởng đến Đạo Đức kinh : Đạo sinh ra một, một sinh ra hai, hai sinh ra ba, ba sinh vạn vật. (câu 42). Và "Đạo" là ǵ : Có một vật hỗn độn mà thành trước cả trời đất. Nó yên lặng (vô thanh) trống không (vô h́nh), đứng một ḿnh mà không thay đổi (vĩnh viễn bất biến), vạn hành khắp vũ trụ mà không ngừng, có thể coi nó là mẹ của vạn vật trong thiên hạ. (câu 25). Những trích dẫn ở đây, cũng như câu đề từ, được chép từ bản dịch của Nguyễn Hiến Lê, nguồn : wikisource. Có lẽ sự tương đồng không ngẫu nhiên. Cả hai đều muốn khởi đi từ cái "có" cơ bản nhất, và như thế chỉ có thể là "có" "cái không", và cái "có" này đến lượt nó lại là cái "có" thứ hai... Nhưng trong khi thuyết tập hợp chỉ là một mô h́nh của nhận thức, được xây dựng trầy trật để làm nền tảng cho toán học; th́ Đạo Đức kinh có lẽ không phân biệt rơ nhận thức và bản thể, và cuốn sách nền tảng này dĩ nhiên không liên hệ ǵ đến toán học.